反函數(shù)求導(dǎo)法則
如果函數(shù)x=f(y)x=f(y)在區(qū)間IyIy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f′(y)≠0f′(y)≠0，那么它的反函數(shù)y=f1(x)y=f1(x)在區(qū)間Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}內(nèi)也可導(dǎo)，且
[f1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy
[f1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy
這個(gè)結(jié)論可以簡(jiǎn)單表達(dá)為：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。
例：設(shè)x=siny，y∈[π2,π2]x=siny，y∈[π2,π2]為直接導(dǎo)數(shù)，則y=arcsinxy=arcsinx是它的反函數(shù)，求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
解：函數(shù)x=sinyx=siny在區(qū)間內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)，f′(y)=cosy≠0f′(y)=cosy≠0
因此，由公式得
(arcsinx)′=1(siny)′
(arcsinx)′=1(siny)′
=1cosy=11sin2y√=11x2√
=1cosy=11sin2y=11x2